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三角函数

函数关系

倒数关系

  • tan\alpha cot\alpha=1
  • sin\alpha csc\alpha=1
  • cos\alpha sec\alpha=1

商数关系

  • tan\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}
  • cot\alpha=\frac{cos\alpha}{sin\alpha}

平方关系

  • sin^2\alpha+cos^2\alpha=1
  • 1+tan^2\alpha=sec^2\alpha
  • 1+cot^2\alpha=csc^2\alpha

诱导公式

不要背，记住口诀即可

口诀：奇变偶不变，符号看象限

和差角公式

二角和差公式

  • sin(\alpha+\beta)=sin\alpha cos\beta+cos\alpha sin\beta

  • sin(\alpha-\beta)=sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta

  • cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta

  • cos(\alpha-\beta)=cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta

  • tan(\alpha+\beta)=\frac{tan\alpha+tan\beta}{1-tan\alpha tan\beta}

  • tan(\alpha-\beta)=\frac{tan\alpha-tan\beta}{1+tan\alpha tan\beta}

和差化积公式

  • sin\alpha+sin\beta=2sin\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}

  • sin\alpha-sin\beta=2cos\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2}

  • cos\alpha+cos\beta=2cos\frac{\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta}{2}

  • cos\alpha-cos\beta=-2sin\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2}

  • tan\alpha+tan\beta=\frac{sin(\alpha+\beta)}{cos\alpha cos\beta}

口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦

积化和差公式

  • cos\alpha sin\beta=\frac{1}{2}[sin(\alpha+\beta)-sin(\alpha-\beta)]
  • sin\alpha cos\beta=\frac{1}{2}[sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)]
  • cos\alpha cos\beta=\frac{1}{2}[cos(\alpha-\beta)+cos(\alpha+\beta)]
  • sin\alpha sin\beta=\frac{1}{2}[cos(\alpha-\beta)-cos(\alpha+\beta)]

倍角公式

二倍角公式

  • sin2\alpha=2sin\alpha cos\alpha=\frac{2tan\alpha}{1+tan^2\alpha}
  • cos2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha=2cos^2\alpha-1=1-2sin^2\alpha=\frac{1-tan^2\alpha}{1+tan^2\alpha}
  • tan2\alpha=\frac{2tan\alpha}{1-tan^2\alpha}

半角公式

  • sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-cos\alpha}{2}}
  • cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+cos\alpha}{2}}
  • tan\frac{\alpha}{2}=\frac{sin\alpha}{1+cos\alpha}=\frac{1-cos\alpha}{sin\alpha}=\pm\sqrt{\frac{1-cos\alpha}{1+cos\alpha}}
  • cot\frac{\alpha}{2}=\frac{1+cos\alpha}{sin\alpha}=\frac{sin\alpha}{1-cos\alpha}=\pm\sqrt{\frac{1+cos\alpha}{1-cos\alpha}}

正负由 \frac{\alpha}{2} 所在的象限决定

万能公式

  • sin\alpha=\frac{2tan\frac{\alpha}{2}}{1+tan^2\frac{\alpha}{2}}
  • cos\alpha=\frac{1-tan^2\frac{\alpha}{2}}{1+tan^2\frac{\alpha}{2}}
  • tan\alpha=\frac{2tan\frac{\alpha}{2}}{1-tan^2\frac{\alpha}{2}}

辅助角公式

  • asin\alpha+bcos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}sin(\alpha+\varphi),tan\varphi=\frac{b}{a}

降幂公式

  • sin^2\alpha=\frac{1-cos2\alpha}{2}
  • cos^2\alpha=\frac{1+cos2\alpha}{2}
  • tan^2\alpha=\frac{1-cos2\alpha}{1+cos2\alpha}

正弦定理

  • \frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R

  • S=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{abc}{4R}

  • a=2RsinA;\ \ \ b=2RsinB;\ \ \ c=2RsinC
  • a:b:c=sinA:sinB:sinC

余弦定理

  • a^2=b^2+c^2-2bccos\alpha
  • cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

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